Недавно страховался и спрашивал это у агента. Она сказала, что старые реквизиты прав (номер и серия) должны быть прописаны в новых правах. Приезжать исправлять полис необязательно, но при желании можно - там впишут новые реквизиты и поставят штамп "Исправленному верить".
Сам недавно менял права, поэтому вставал такой же вопрос. Узнавал у себя в страховой (Росгосстрах), агент сказала что ничего менять не надо,
так как № и серия старых прав прописаны в особых отметках новых прав, поэтому ОСАГО действительно и ничего изменять не надо, а вот на прошлой неделе менял полис ОСАГО (по окончанию срока действия) - в новый полис вписали серию и номер новых прав. Перед этим сказал о смене прав, что бы она изменила данные в своей базе данных.